Matematika Diskrit

MATRIKS, RELASI DAN FUNGSI

Life is like riding a bicycle.

To keep your balance, you must keep moving.

  - Albert Einstein

      Di materi kemarin, kita sudah membahas salah satu sub bab matematika diskrit mengenai himpunan. Nah, maka dari itu sekarang kita akan membahas materi selanjutnya mengenai matermatika diskrit, yakni Matriks, Relasi dan Fungsi.

         

2.1 Matriks

      Matriks sendiri bisa di dafinisikan sebagai kumpulan elemen yang berbentuk baris dan kolom. Selama  ini yang kita tahu, matriks hanya berupa angka. Namun sebenarnya matriks tidak hanya berupa angka, bisa juga berupa abjad atau elemen lain, seperti nama hewan, tumbuhan, dll.

      Dalam praktek, kita lazim menuliskan matriks dengan notasi ringkas A= [aij]. 

2.1.1  Beberapa Matriks Khusus

          1. Matriks Diagonal 

              Matriks diagonal adalah matriks bujursangkar dengan = 0 untuk i  j.  

          2. Matriks Identitas  

              Matriks identitas, dilambangkan dengan I, adalah matriks diagonal dengan semua 

              elemen diagonal = 1.

          3. Matriks Segitiga Atas / Bawah 

              Matriks segitiga atas/bawah adalah matriks jika elemen-elemen di atas/di bawah 

              diagonal bernilai 0, yaitu = 0 jika i < j (i > j).

          4. Matriks Transpose 

              Matriks transpose adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan baris-

              baris dan kolom-kolom. 

          5. Matriks Setangkup (Symmetry) 

              A adalah matriks setangkup atau simetri jika A^T=A, yaitu jika =  untuk setiap i dan j.

          6. Matriks 0/1 (zero-one)

              Matriks 0/1 adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1.

 2.1.2 Operasi Aritmatika Matriks

       

          1. Penjumlahan dua buah matriks 

              Dua buah matriks dapat dijumlahkan jika ukuran (baris dan kolom) keduanya 

              sama.

          2. Perkalian dua buah matriks 

              Dua buah matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan 

              jumlah baris matriks kedua.

             

 

          3. Perkalian matriks dengan skalar

              Perkalian matriks  dengan skalar  adalah mengalikan setiap elemen matriks 

              dengan konstantanya. 

2.2 Relasi

      Notasi: A x B = {( a, b) | a  A dan b

     

      Relasi adalah aturan yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke himpunan B. Dimana disebut domain (daerah asal) dan B disebut kodomain (daerah kawan). Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota anggota himpunan B. 

    Cara paling mudah menyatakan relasi dari dua himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian antara dua himpunan. Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang melemennya semua pasangan terurut yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.

      Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.

Notasi : R  ( A x  B).

2.2.1 Representasi  Relasi

      Selain dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut, ada banyak cara lain untuk mempresentasikan atau menyajikan relasi. Dibawah ini disajikan 3 cara yang lazim dipakai untuk mempresentasikan relasi, yaitu dengan tabel ,matriks, dan graf berarah.

         1. Representasi Relasi dengan Tabel 

            Relasi biner dipresentasikan sebagai tabel. Kolom  pertama  tabel menyatakan 

            daerah asal, sedangkan kolom kedua  menyatakan  daerah hasil.

         2. Representasi relasi dengan matriks 

            Matriks representasi relasi merupakan contoh matriks zero-one.

        3. Representasi relasi dengan graf berarah

            Representasi dengan graph berarah (directed graph atau digraph) merupakan 

            representasi relasi secara grafis (graph akan dibahas pada bab tersendiri). Tiap

            elemenhimpunan dinyatakan dengan sebuah titik (simpul atau vertek), dan tiap

            pasangan berurutan dinyatakan dengan busur atau (arc) yang arahnya ditunjukkan

            dengan sebuah panah. Dengan kata lain, jika (a,b) R, maka sebuah  busur dibuat

            dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertek) dan simpul b

            disebut simpul tujuan (terminal vertek).

2.3 Fungsi

      Fungsi adalah aturan yang mengubungkan setiap anggota A tepat satu ke anggota himpunan B (Relasi Khusus). Range (daerah hasil) adalah Himpunan bagian dari B (kodomain / daerah lawan) yang telah mempunyai pasangan di A (domain / daerah asal).

 

2.3.1 Perbedaan yang mendasar antara Fungsi dan Relasi adalah :

         Fungsi : Tiap anggota A hanya mempunyai pasangan 1 saja di B.

         Relasi : Tiap anggota A boleh mempunyai pasangan lebih dari 1 di B.

 

       Contoh Relasi tapi bukan Fungsi :

      Diberikan himpunan P = {-2, -1, 0, 1, 2} dan Q adalah himpunan bilangan bulat positif.
        Relasi dari P ke Q didefinisikan oleh R: x → 2x + 1
        Perhatikan bahwa relasi di atas akan memasangkan:
        -2 dengan -3
        -1 dengan -1,
       padahal -3 dan -1 bukan anggota himpunan Q.
       Ini berarti ada dua anggota P yang tidak mempunyai pasangan dengan
anggota himpunan Q.
       Relasi tersebut tidak memenuhi kriteria sebuah fungsi yang mengharuskan
setiap anggota P berpasangan dengan tepat satu anggota Q.
       Jadi, relasi dari P ke Q yang didefinisikan oleh R: x → 2x + 1, bukan sebuah fungsi.

        Contoh Relasi dan juga Fungsi :

     Dikelas 8 SMP belajar matematika terdapat 4 orang siswa yang lebih menyukai pelajaran tertentu. berikut ke-4 anak tersebut :

• Buyung menyukai pelajaran IPS dan Kesenian
• Doni menyukai pelajaran ketrampilan dan olah raga
• Vita menyukai pelajaran IPA, dan
• Putri lebih menyukai pelajaran matematika dan bahasa inggris

       Jadi, relasi dari A ke B bisa dikatakan relasi dan fungsi karena seluruh anggota B mendapat pasangan dari anggota A.

         Bukan Relasi dan juga bukan fungsi :

      Contoh yang terakhir ini bukan relasi maupun fungsi, dikarenakan ada anggota A (domain) yang tidak mempunyai pasangan. Karena syarat relasi adalah tiap anggota A mempunyai pasangan di B. Jika dia bukan relasi apalagi fungsi.
         Relasi terkadang juga ditulis dengan menggunakan pasangan berurut. Misal relasi A adalah {(1,3),(1,4),(2,6),(7,5)}. Maka domainnya adalah {1,2,7}. Dan daerah hasilnya(range) adalah {3,4,5,6}.
         Jika ditanya , apakah relasi tersebut adalah fungsi ? Tentu saja jawabannya adalah bukan fungsi. Kenapa? Karena anggota Domain ada yang memiliki 2 pasangan, siapa? Yaitu 1 dimana 1 berpasangan dengan 3 dan juga dengan 4. Maka relasi tersebut bukanlah Fungsi.