Matematika Diskrit

MATRIKS, RELASI DAN FUNGSI

Life is like riding a bicycle.

To keep your balance, you must keep moving.

  - Albert Einstein

      Di materi kemarin, kita sudah membahas salah satu sub bab matematika diskrit mengenai himpunan. Nah, maka dari itu sekarang kita akan membahas materi selanjutnya mengenai matermatika diskrit, yakni Matriks, Relasi dan Fungsi.

         

2.1 Matriks

      Matriks sendiri bisa di dafinisikan sebagai kumpulan elemen yang berbentuk baris dan kolom. Selama  ini yang kita tahu, matriks hanya berupa angka. Namun sebenarnya matriks tidak hanya berupa angka, bisa juga berupa abjad atau elemen lain, seperti nama hewan, tumbuhan, dll.

      Dalam praktek, kita lazim menuliskan matriks dengan notasi ringkas A= [aij]. 

2.1.1  Beberapa Matriks Khusus

          1. Matriks Diagonal 

              Matriks diagonal adalah matriks bujursangkar dengan = 0 untuk i  j.  

          2. Matriks Identitas  

              Matriks identitas, dilambangkan dengan I, adalah matriks diagonal dengan semua 

              elemen diagonal = 1.

          3. Matriks Segitiga Atas / Bawah 

              Matriks segitiga atas/bawah adalah matriks jika elemen-elemen di atas/di bawah 

              diagonal bernilai 0, yaitu = 0 jika i < j (i > j).

          4. Matriks Transpose 

              Matriks transpose adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan baris-

              baris dan kolom-kolom. 

          5. Matriks Setangkup (Symmetry) 

              A adalah matriks setangkup atau simetri jika A^T=A, yaitu jika =  untuk setiap i dan j.

          6. Matriks 0/1 (zero-one)

              Matriks 0/1 adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1.

 2.1.2 Operasi Aritmatika Matriks

       

          1. Penjumlahan dua buah matriks 

              Dua buah matriks dapat dijumlahkan jika ukuran (baris dan kolom) keduanya 

              sama.

          2. Perkalian dua buah matriks 

              Dua buah matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan 

              jumlah baris matriks kedua.

             

 

          3. Perkalian matriks dengan skalar

              Perkalian matriks  dengan skalar  adalah mengalikan setiap elemen matriks 

              dengan konstantanya. 

2.2 Relasi

      Notasi: A x B = {( a, b) | a  A dan b

     

      Relasi adalah aturan yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke himpunan B. Dimana disebut domain (daerah asal) dan B disebut kodomain (daerah kawan). Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota anggota himpunan B. 

    Cara paling mudah menyatakan relasi dari dua himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian antara dua himpunan. Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang melemennya semua pasangan terurut yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.

      Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.

Notasi : R  ( A x  B).

2.2.1 Representasi  Relasi

      Selain dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut, ada banyak cara lain untuk mempresentasikan atau menyajikan relasi. Dibawah ini disajikan 3 cara yang lazim dipakai untuk mempresentasikan relasi, yaitu dengan tabel ,matriks, dan graf berarah.

         1. Representasi Relasi dengan Tabel 

            Relasi biner dipresentasikan sebagai tabel. Kolom  pertama  tabel menyatakan 

            daerah asal, sedangkan kolom kedua  menyatakan  daerah hasil.

         2. Representasi relasi dengan matriks 

            Matriks representasi relasi merupakan contoh matriks zero-one.

        3. Representasi relasi dengan graf berarah

            Representasi dengan graph berarah (directed graph atau digraph) merupakan 

            representasi relasi secara grafis (graph akan dibahas pada bab tersendiri). Tiap

            elemenhimpunan dinyatakan dengan sebuah titik (simpul atau vertek), dan tiap

            pasangan berurutan dinyatakan dengan busur atau (arc) yang arahnya ditunjukkan

            dengan sebuah panah. Dengan kata lain, jika (a,b) R, maka sebuah  busur dibuat

            dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertek) dan simpul b

            disebut simpul tujuan (terminal vertek).

2.3 Fungsi

      Fungsi adalah aturan yang mengubungkan setiap anggota A tepat satu ke anggota himpunan B (Relasi Khusus). Range (daerah hasil) adalah Himpunan bagian dari B (kodomain / daerah lawan) yang telah mempunyai pasangan di A (domain / daerah asal).

 

2.3.1 Perbedaan yang mendasar antara Fungsi dan Relasi adalah :

         Fungsi : Tiap anggota A hanya mempunyai pasangan 1 saja di B.

         Relasi : Tiap anggota A boleh mempunyai pasangan lebih dari 1 di B.

 

       Contoh Relasi tapi bukan Fungsi :

      Diberikan himpunan P = {-2, -1, 0, 1, 2} dan Q adalah himpunan bilangan bulat positif.
        Relasi dari P ke Q didefinisikan oleh R: x → 2x + 1
        Perhatikan bahwa relasi di atas akan memasangkan:
        -2 dengan -3
        -1 dengan -1,
       padahal -3 dan -1 bukan anggota himpunan Q.
       Ini berarti ada dua anggota P yang tidak mempunyai pasangan dengan
anggota himpunan Q.
       Relasi tersebut tidak memenuhi kriteria sebuah fungsi yang mengharuskan
setiap anggota P berpasangan dengan tepat satu anggota Q.
       Jadi, relasi dari P ke Q yang didefinisikan oleh R: x → 2x + 1, bukan sebuah fungsi.

        Contoh Relasi dan juga Fungsi :

     Dikelas 8 SMP belajar matematika terdapat 4 orang siswa yang lebih menyukai pelajaran tertentu. berikut ke-4 anak tersebut :

• Buyung menyukai pelajaran IPS dan Kesenian
• Doni menyukai pelajaran ketrampilan dan olah raga
• Vita menyukai pelajaran IPA, dan
• Putri lebih menyukai pelajaran matematika dan bahasa inggris

       Jadi, relasi dari A ke B bisa dikatakan relasi dan fungsi karena seluruh anggota B mendapat pasangan dari anggota A.

         Bukan Relasi dan juga bukan fungsi :

      Contoh yang terakhir ini bukan relasi maupun fungsi, dikarenakan ada anggota A (domain) yang tidak mempunyai pasangan. Karena syarat relasi adalah tiap anggota A mempunyai pasangan di B. Jika dia bukan relasi apalagi fungsi.
         Relasi terkadang juga ditulis dengan menggunakan pasangan berurut. Misal relasi A adalah {(1,3),(1,4),(2,6),(7,5)}. Maka domainnya adalah {1,2,7}. Dan daerah hasilnya(range) adalah {3,4,5,6}.
         Jika ditanya , apakah relasi tersebut adalah fungsi ? Tentu saja jawabannya adalah bukan fungsi. Kenapa? Karena anggota Domain ada yang memiliki 2 pasangan, siapa? Yaitu 1 dimana 1 berpasangan dengan 3 dan juga dengan 4. Maka relasi tersebut bukanlah Fungsi.

Matematika Diskrit

HIMPUNAN

 

 Tidak ada manusia yang bodoh,

yang ada hanya manusia malas tanpa mau berusaha

- Kata Mutiara Mama :)

 

  Matematika diskrit atau diskret adalah suatu cabang matematika yang membahas mengenai elemen-elemen yang tidak berkesinambungan. Dalam kehidupan sehari-hari tanpa sadar kita sering sekali membicarakan objek diskrit ini. Misalnya buku, mahasiswa, komputer, pohon, manusia, bahkan hewan adalah contoh-contoh dari diskrit.

     Dan saat kita membicarakan mengenai objek-objek diskrit ini, kita sering bertemu dengan objek-objek yang berbentuk kumpulan. Misalnya ketika kita membicarakan mengenai mahasiswa, maka mahasiswa yang dimaksud bisa saja "Mahasiswa Teknik Informatika STT-PLN" atau bisa juga "Mahasiswa Angkatan 2017 STT-PLN". Namun apapun pembahasannya, intinya tetap kelompok atau kumpulan objek.

    Nah, dalam terminologi dasar tentang objek diskrit adalah himpunan. Himpunan merupakan konsep paling dasar dalam diskrit, karena banyak sekali ilmu komputer yang didasari dari konsep himpunan ini. Berikut dibawah ini merupakan penjelasannya. 

A. DEFINISI HIMPUNAN

           
    Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek atau benda-benda (yang di definisikan dengan jelas) yang berbeda namun dianggap sebagai satu kesatuan. Objek yang tedapat dalam himpunan di sebut sebagai elemen, unsur atau anggota.

B. CARA PENYAJIAN HIMPUNAN

    Sebuah himpunan biasanya dinyatakan dengan simbol-simbol tertentu. Simbol tersebut dapat menggunakan huruf kapital atau bisa juga dengan kurung kurawal. Sedangkan anggota dari himpunan tersebut biasanya ditandai dengan menggunakan huruf kecil.
   Untuk lebih memahaminya, disini kita akan membahas 4 cara penyajian, yaitu mengenumerasi elemen-elemennya, menggunakan simbol-simbol baku, menyatakan syarat keanggotaan, dan menggunakan diagram Venn.
      
     1. Enumerasi (Tabulus Form)

       Yakni pendaftaran atau penulisan seluruh anggota himpunan secara rinci didalam kurung kurawal dan setiap elemen didalam kurung kurawal dipisahkan oleh tanda koma. 

          Contoh dan Keterangan:

         a.  Himpunan A berisi bilangan ganjil dari 1 sampai 10. 
              Maka A dapat ditulis sebagai : A = {1,3,5,7,9}
  
         b.  G = {Bunga, Kuda, a, Pensil, 1}
              Dapat dilihat  disini bahwa  himpunan tidak hanya di gunakan untuk mengelompok-
              kan elemen-elemen khusus yang berkesinambungan. Tetapi juga berbagai elemen 
              yang bahkan tidak berkaitan dalam satu himpunan.

         c.  Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, P4 = {{}}
              Maka a  P1, a  P2, P1  P2, P1  P3, P2  P3.Sedangkan P4 adalah himpunan 
              kosong yang sering dilambangkan dengan Ø.

         d.  Untuk   menuliskan   himpunan  dengan   jumlah  anggota  yang  besar  dan   telah 
              memiliki urutan tertentu dapat dilakukan dengan menggunakan tanda ’...’(ellipsis).
              Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } 

         e. Untuk menyatakan keanggotaan suatu himpunan dapat di simbolkan dengan 
             x  A : x merupakan anggota himpunan A.
             x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

      2. Simbol-Simbol Baku

          Terdapat beberapa simbol baku yang dapar mendefinisikan himpunan yang sering digunakan, yakni :

            P =  himpunan bilangan bulat positif =  { 1, 2, 3, ... }
            N =  himpunan bilangan alami (natural)  =  { 1, 2, ... } 
            Z =  himpunan bilangan bulat =  { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } 
            Q =  himpunan bilangan rasional 
            R =  himpunan bilangan riil 
            C =  himpunan bilangan kompleks
     
           Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = 
           {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

     3. Notasi Pembentuk Himpunan (Set Builder)

         Cara penyajian dapat dilakukan dengan memenuhi persyaratannya, yakni : 

                           Notasi: { x  syarat yang harus dipenuhi oleh x }

        Contoh :
         A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5. Yang ekivalen dengan
         A = {1, 2, 3, 4}
         Sehingga dapat dituliskan : A = { x | x  bilangan bulat positif lebih kecil dari  5} atau 
         A  =  { x | x   P, x < 5 }

     4. Diagram Venn

        Merupakan cara menyatakan sebuah himpunan dengan menggambarkannnya dalam bentuk grafis. Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. Masing-masing himpunan digambarkan dalam sebuah lingkaran dan dilingkupi olah himpunan semesta yang dinyatakan dalam bentuk persegi empat seperti pada gambar berikut:
       

C. MACAM - MACAM HIMPUNAN
     
     Ada beberapa jenis himpunan yang terdapat dalam dunia matematika, yakni :

     1. Kardinalitas

         Misal A merupakan himpunan yang elemennya berhingga banyaknya. Jumlah elemen A disebut kardinal dari himpunan A. Dapat dinotasikan sebagai n(A) atau A .  

       Himpunan yang tidak berhingga banyak anggotanya mempunyai kardinalitas tidak berhingga pula. Sebagai contoh, himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tidak berhingga, maka |R| = ∞. 

        Contoh : 

         (i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 

              17, 19} maka B = 8 

         (ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5 

         (iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3             

     2. Himpunan Kosong (Null Set)

         Yakni himpunan yang sama sekali tidak memiliki elemen di dalamnya atau himpunan dengan kardinal = 0. Biasanya dapat dinotasikan dengan  atau {}.

        Contoh :
        (i)   E = { x | x < x }, maka n(E) = 0 
        (ii)  P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0 
        (iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

         Perlu di perhatikan bahwa himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Ø}, begitu pula himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Ø, {Ø}}. Sedangkan  {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong. 

     3. Himpunan Bagian (Subset)

       Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Dapat di notasikan sebagai A   B.
          Diagram Venn :

     4. Himpunan Yang Sama

        Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. Sebaliknya, A tidak sama dengan B.

                                     Notasi : A = B    A  B dan B  A 

         Tiga prinsip yang perlu diingat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan:

1. Urutan elemen dalam himpunan tidak penting.

Jadi {1,2,3} = {3,2,1} = {1,3,2}

2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.

Jadi, {1,1,1,1}={1,1}={1} atau {1,2,3}={1,2,1,3,2,1}

3. Untuk tiga buah himpunan, A, B, C berlaku aksioma berikut:

(a)          A = A, B = B, dan C = C

(b)         Jika A = B, maka B = A

(c)          Jika A = B, dan B = C maka A = C

     5. Himpunan yang Ekivalen

        Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

                                      Notasi : A ~ B   A = B 
           Contoh :
          A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka  A ~ B sebab A = B = 4


     6. Himpunan Saling Lepas (Disjoint)

       Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. 

                                  Notasi : A // B 

              
        7. Himpunan Kuasa (Power Set)
            Adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. 

          

                                                Notasi : P(A) atau 2A 

           Contoh :

Himpunana kosong dari himpunan kosong adalah P(Ø) = {Ø}, dan himpunan kuasa dari {Ø} adalah P({Ø}) = {Ø,{Ø} }}. Berapa banyak anggota himpunan kuasa dari sembarang himpunan A? Jika |A| = m, maka |P(A)| = 2^m . Kardinalitas himpunan kuasa ini dapat dibuktikan sebagai berikut:

Bukti:

Susun elemen-elemen A sebagai barisan (a₁,a₂,.....a_n).

Bentuk himpunan bagian Ai dari A dan juga bentuk barisan-barisan biner

Ei = (^e1i, ^e2i,.......^eni}

Dengan

^eji = 1 bila a_j ada di dalam A_i

^eji = 0 jika a_j tidak ada di dalam A_i

Banyaknya kombinasi E_i yang mungkin adalah 2ⁿ-1. mengingat himpunan kosong juga merupakan himpunan bagian A, maka terbukti bahwa jumlah himpunan bagian dari himpunan A sama dengan 2ⁿ.